Решить логарифмическое неравенство

Решите неравенство lg⁴(x² – 26)⁴ – 4lg²(x² – 26)² ≤ 240.

Применим формулу для логарифма степени и запишем

lg(x² – 26)⁴  как  2lg(x² – 26)². А почему не как 4lg(x² – 26)? Потому что в этом случае число под знаком логарифма должно быть положительным, а не просто не равным нулю, как мы записали в ОДЗ. Это значит, что преобразованное далее неравенство не будет равносильно данному. Итак:

lg⁴(x² – 26)⁴ = (lg(x² – 26)⁴ )⁴ = (2lg(x² – 26)² )⁴ = 2⁴ · (lg(x² – 26)² )⁴ = 16lg⁴(x² – 26)².

Тогда данное неравенство примет вид:

16lg⁴(x² – 26)² – 4lg²(x² – 26)² ≤ 240. Делим обе части на 4.

4lg⁴(x² – 26)² – lg²(x² – 26)² – 60 ≤ 0.

Сделаем замену. Пусть lg²(x² – 26)² = t.

Решим неравенство. 4t² – t – 60 ≤ 0.

Находим корни квадратного трёхчлена.

4t² – t – 60 = 0. D = b² – 4ac = 1 + 960 = 961 = 31².

0 ≤  lg²(x² – 26)² ≤ 4.

lg²(x² – 26)² ≤ 4.  Извлекаем из обеих частей квадратные корни.

| lg(x² – 26)²| ≤ 2.

-2 ≤ lg(x² – 26)² ≤ 2. (см. рис. 2)

Запишем числа -2 и 2 в виде десятичного логарифма.

lg0,01 ≤ lg(x² – 26)² ≤ lg100. Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству

0,01 ≤ (x² – 26)² ≤ 100. А это неравенство равносильно системе неравенств

Решаем каждое неравенство системы по отдельности, а затем находим их общее решение. Оно и будет служить решением данного неравенства.

I. (x² – 26)² ≥ 0,01; (см. рис.3)

| x² – 26| ≥ 0,1;

1) x² – 26 ≤ -0,1                 

x² ≤ 25,9.

2)  x² – 26 ≥ 0,1

  x² ≥ 26,1.

Решаем второе неравенство системы ( * )

II. (x² – 26)² ≤ 100;

| x² – 26| ≤ 10;

-10 ≤ x² – 26 ≤ 10                           

16 ≤ x² ≤ 36;     

Полученные решения неравенств I и II покажем синим и зелёным цветом на координатной прямой. Пересечение этих промежутков и будет решением нашего неравенства.