Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "логарифмическое неравенство"

Решить логарифмическое неравенство

Решите неравенство lg4(x2 – 26)4 – 4lg2(x2 – 26)2 ≤ 240.

Применим формулу для логарифма степени и запишем

lg(x2 – 26)4  как  2lg(x2 – 26)2. А почему не как 4lg(x2 – 26)? Потому что в этом случае число под знаком логарифма должно быть положительным, а не просто не равным нулю, как мы записали в ОДЗ. Это значит, что преобразованное далее неравенство не будет равносильно данному. Итак:

lg4(x2 – 26)4 = (lg(x2 – 26)4 )4 = (2lg(x2 – 26)2 )4 = 24 · (lg(x2 – 26)2 )4 = 16lg4(x2 – 26)2.

Тогда данное неравенство примет вид:

16lg4(x2 – 26)2 – 4lg2(x2 – 26)2 ≤ 240. Делим обе части на 4.

4lg4(x2 – 26)2 – lg2(x2 – 26)2 – 60 ≤ 0.

Сделаем замену. Пусть lg2(x2 – 26)2 = t.

Решим неравенство. 4t2 – t – 60 ≤ 0.

Находим корни квадратного трёхчлена.

4t2 – t – 60 = 0. D = b2 – 4ac = 1 + 960 = 961 = 312.

0 ≤  lg2(x2 – 26)2 ≤ 4.

lg2(x2 – 26)2 ≤ 4.  Извлекаем из обеих частей квадратные корни.

| lg(x2 – 26)2| ≤ 2.

-2 ≤ lg(x2 – 26)2 ≤ 2. (см. рис. 2)

Запишем числа -2 и 2 в виде десятичного логарифма.

lg0,01 ≤ lg(x2 – 26)2 ≤ lg100. Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству

0,01 ≤ (x2 – 26)2 ≤ 100. А это неравенство равносильно системе неравенств

Решаем каждое неравенство системы по отдельности, а затем находим их общее решение. Оно и будет служить решением данного неравенства.

I. (x2 – 26)2 ≥ 0,01; (см. рис.3)

| x2 – 26| ≥ 0,1;

1) x2 – 26 ≤ -0,1                 

x2 ≤ 25,9.

2)  x2 – 26 ≥ 0,1

  x2 ≥ 26,1.

Решаем второе неравенство системы ( * )

II. (x2 – 26)2 ≤ 100;

| x2 – 26| ≤ 10;

-10 ≤ x2 – 26 ≤ 10                           

16 ≤ x2 ≤ 36;     

Полученные решения неравенств I и II покажем синим и зелёным цветом на координатной прямой. Пересечение этих промежутков и будет решением нашего неравенства.

Наверх