Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13
Задача. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Решение.
Плоскость сечения, параллельная основанию цилиндра представляет собой прямоугольник AA1C1C, площадь которого S = AC ∙ AA1.
Так как по условию Sсеч. = 72
и АА1 = 3, то АС = 72 : 3 = 24.
Заметим, что хорда AC немногим меньше диаметра основания цилиндра (АВ = 2R = 2 ∙ 13 = 26).
Так как плоскость АА1С параллельна оси цилиндра ОО1, то расстояние до нее от точки О — длина перпендикуляра, проведенного из точки О к АС.
Проведем радиус ON перпендикулярно хорде AC.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее и стягиваемую ею дугу пополам.
Точка K — середина AC, поэтому АК = АС : 2 = 24 : 2 = 12.
OK – искомый отрезок.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АКО. По теореме Пифагора:
ОК2 = АО2 – АК2 = 132 – 122 =169 – 144 = 25, отсюда ОК = 5.
Это и есть расстояние от плоского сечения до центра основания цилиндра.
Ответ: 5.
В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 2
Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 2.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки В, А1 и F1.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой А1F1.
а) Верхнее основание плоскость BA1F1 пересекает по прямой A1F1. С нижним основанием секущая плоскость имеет общую точку В. Плоскость пересекает параллельные плоскости A1B1C1D1E1F1 и ABCDEF по параллельным прямым, следовательно, так как BE параллельна AF, то параллельна A1F1 и является прямой пересечения плоскости BA1F1 с нижним основанием призмы. Соединим A1 и B; F1 и E.
Трапеция A1BEF1 – сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, A1 и F1.
Так как A1B и EF1 – диагонали равных квадратов, то мы имеем равнобокую трапецию, в которой расстояние от B до A1F1 является расстоянием между основаниями трапеции, т.е. является высотой трапеции. Рассмотрим трапецию A1BEF1.
A1F1 = 2 (все ребра призмы по 2); BE = 4;
Это диагональ квадрата со стороной 2. Проведем F1H⟘BE – высоту трапеции. Отрезок ЕН=(4-2) : 2=1.
Из прямоугольного ∆ EHF1 по теореме Пифагора:
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1
Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F-середина ребра SВ, G-середина ребра SC.
а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.
Решение. а) Строим плоскость ABG. Соединим B и G. Плоскость ABG пересекает основание по АВ. Грань SBC — по прямой BG. Плоскость ABG имеет с плоскостью SCD общую точку G, значит, должна пересекать грань SCD по прямой, проходящей через G, причем, эта прямая не может пересечь CD, так как CD лежит основании АВCD, а плоскость ABG пересекает основание пирамиды по прямой АВ, поэтому ни одна точка прямой CD не будет принадлежать АВ, ведь АВ || CD. Вывод: прямой пересечения плоскости ABG с гранью SCD будет прямая MG, не пересекающая ребро CD. Проводим MG || CD. Отметим, что MG || АВ.
Плоскость ABG будет пересекать грань SAD по прямой AM.
Плоскость ABG – равнобокая трапеция AMGB.
Строим плоскость GDF. Проведем DG – прямая пересчения плоскости GDF с гранью SCD. Соединим G и F – прямая пересечения с гранью SBC. GF не пересекает BC, так как по построению является средней линией треугольника SBC, следовательно, не пересечет и AD, то есть AD-прямая пересечения плоскости GDF с основанием пирамиды. AF-прямая пересечения с гранью SAB.
Мы получим точно такую же равнобокую трапецию ADGF. Почему трапеции равны? Большее основание – сторона квадрата. Меньшее основание – средняя линия равностороннего треугольника. Боковые стороны трапеция есть медианы равносторонних треугольников-боковых граней пирамиды. Эти две трапеции AMGB и ADGF имеют 2 общие точки A и G, следовательно, пересекаются по прямой AG. Итак, AG — прямая пересечения плоскостей ABG и GDF.
б) Найдем угол между плоскостями ABG и GDF.
AG – общая диагональ наших равных трапеций. Это линия пересечения плоскостей ABG и GDF.
Угол между двумя плоскостями называют угол, образованный двумя полупрямыми, перпендикулярными линии пересечения этих плоскостей.
Проведем MK⟘AG и точку К соединим с F. Получим, что FK⟘AG, так как МК и FK – это равные высоты в равных треугольниках AMG и AFG, проведенные из равных углов к общей стороне AG , которая является общей диагональю равных равнобоких трапеций AMGB и ADGF. Найдем угол MKF – линейный угол между плоскостями ABG и GDF. Соединим M и F. Обозначим ∠MKF через α и рассмотрим ∆MKF. На основании теоремы косинусов имеем:
Из треугольника ADG найдем AG по теореме косинусов:
AG2 = AD2 + DG2 -2 ∙ AD ∙ DG ∙ cosφ;
MK и KF – равные высоты, найдем через площадь треугольника AFG.
Подставляем имеющиеся данные и получаем:
