В правильной треугольной пирамиде МАВС
Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ-точка L. Известно, что АD=АE=LМ=4.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Решение.
Высота данной правильной пирамиды проектируется в центр правильного треугольника АВС – точку пересечения медиан (высот и биссектрис). Обозначим эту точку через О. Мы знаем, что эта точка (пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому АО : ОЕ = 2 : 1, что равнозначно отношению АО : АF = 2 : 3. Проводим отрезки DE, DL и LE.
а) Так как DE отсекает от сторон АС и АВ равностороннего треугольника АВС отрезки по 4 см, то ∆ AED ∾ ∆ ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, ведь AD : AC = 2 : 3 (на самом деле, 4 : 6 = 2 : 3) и AE : AB = 2 : 3, и общему углу ВАС. Отсюда следует, что ∆AED тоже равносторонний и сторона его DE=AD=AE=4.
Соответствующие медианы подобных треугольников∆ AED и ∆ ABC тоже относятся как 2 : 3, а это и означает, что точка О лежит на отрезке DE.
б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L, иначе говоря, найдем площадь треугольника DEL. Проведем LO. В равнобедренном треугольнике DEL медиана LO является и высотой.
Мы знаем только, что DE= 4. Потребуется найти LO.
Проведем LK⟘AF. Прямоугольные треугольники AKL и AOM подобны по общему углу МАО. Справедливо равенство:
Итак, нам лишь потребуется найти МО-высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.
Найдем АО, как радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:
Из треугольника АОМ по теореме Пифагора:
Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.
Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
Из прямоугольного треугольника OКL по теореме Пифагора найдем LO.
