Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "уравнение касательной"

Производная. Часть 1

Определение понятия производной и её геометрического смысла

показано на рисунке 1, а подробно раскрыто в видео, которое можно посмотреть на

YouTube: https://youtu.be/OniFjwZ3b00

RUTUBE: https://rutube.ru/video/0fd4e77d6cd661ed4d2cbc1c96137f10/

ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623be27502c2cc69a1db251a

Поясним новые понятия. 

Приращение аргумента Δх и приращение функции Δу.

 Во-первых, для функции y = f(x)

х –аргумент; у – функция.

Приращение аргумента Δх — это величина, на которую изменяют (увеличивают, как на рисунке, или уменьшают) абсциссу х0 произвольной точки М графика, причём значение Δх незначительно отличается от зафиксированного значения х0.

В результате получается новое значение аргумента х = х0 + Δх. Этому новому значению аргумента соответствует новая точка графика N,

у которой координаты (x0+Δx; f(x0+Δx)). Что же получилось? Мы увеличили абсциссу точки М на Δх и в результате ордината увеличилась на Δу = f(x0+Δx) -f(x0).

Что такое lim.

В переводе limit – предел, предельное значение при определённом условии.

Что означает знак ( ′ ) штрих. Это знак производной.

f(x) – функция; f ′(x) – производная функции.

производная функции f в точке х0 равна пределу отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх при Δх стремящемся к нулю.

В чём заключается геометрический смысл производной?

Производная функции в данной точке есть угловой коэффициент

прямой у = kx + b (на рисунке прямая МТ), которая служит касательной

к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0.

А так как коэффициент k = tgα, где α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох, то имеем равенство:

f(x0) = k = tgα. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Используя равенство f(x0) = tgα, вы легко решите такие задания ЕГЭ,

как задача 6 ЕГЭ 2022 ФИПИ.

Примеры.

   

Пример 1. На рисунке 1.1 изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Решение. М – точка касания (рис. 1.1а). Касательная МА пересекает ось Ох в точке В и образует угол МВХ с положительным направлением оси Ох. Обозначим этот угол через α. Искомое значение производной функции f(x) в точке х0 равно тангенсу угла α. Построим прямоугольный треугольник АСМ с гипотенузой МА. Угол МАС также равен α. Найдём тангенс угла α из ΔАСМ. Считаем клеточки (единичные отрезки). МС = 9, АС = 4.

Так как f(x0) = tgα, то получаем f ′(x0) = 2,25.

Ответ: 2,25.

Пример 2. На рисунке 2.1 изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.

Решение. Касательная АВ (рис. 2.1а) к графику функции y = f(x) в точке х0 образует угол α с положительным направлением оси Ох.

Искомое значение f(x0) = tgα. Вначале из прямоугольного треугольника АВС найдём тангенс угла ВАС, смежного с углом α. У нас ВС = 6, АС = 3.

Нас интересует tgα.

Так как tg(180°-α)  = -tgα, то tgα = -tg(180°-α) = -2.

Тогда f ‘(x0) = tgα = -2. Ответ: -2.

Пример 3. На рисунке 3.1 изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = 5.

Решение. Касательная АО (рис. 3.1а) образует тупой угол с положительным направлением оси Ох. Найдём тангенс острого угла α смежного с этим тупым углом, а значения тангенсов смежных углов отличаются лишь знаком.

Пример 4. На рисунке 4.1 изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = -4.

Решение. Касательная АО (рис. 4.1а) образует тупой угол α с положительным направлением оси Ох. Найдём тангенс смежного с углом α угла ОАВ из прямоугольного треугольника АВО.

По свойству смежных углов ∠ОАВ=180°-α. 

Мы найдём тангенс угла (180°-α) и воспользуемся равенством

tgα = -tg(180°-α). 

Ответ: -0,75.

Формулы и правила производной

Возникает вопрос. А как находить производную функции, если нет никаких рисунков?

Ответ. По формулам, выведенным согласно определения производной, т.е. на основании равенства:

Потребуется только равенство y = f(x), где f(x) – выражение, содержащее переменную х.

В качестве примера рассмотрим вывод формулы производной степени.

На основании определения производной получим формулу:

n)′ = nxn-1.

Смотрите рисунок 2.  Подробности на видео.

YouTube: https://youtu.be/gNqs6svP61A

RUTUBE: https://rutube.ru/video/c2722daedf644bdf1da071fb8656a9b0/

ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623fd665de9aa25e6dd7247c

Итак, мы имеем формулу ( хn )′ = nxn-1.

Примеры. Найти производные следующих функций.

1) у =х6. Решение. у′ = 6х5.

2) у = х. Решение. у′ = 1х0 = 1.

х′ = 1.

На основании определения производной выводятся и производные других элементарных функций.

Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием этой функции.

Вопрос. Многие функции представляют собой сумму, разность, произведение или частное некоторых функций f(x) и g(x). Как быть в этих случаях?

Ответ. Применяют правила дифференцирования, которые выводятся также на основании определения производной функции.  Для удобства введём обозначения: u = f(x) и v = g(x).

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

(u ± v)′ = u ′ ± v

2. Производная произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.

(uv)′ = u′v + uv′

3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.

u)′ = Cu′.

4. Производная постоянной величины равна нулю.

С ′ = 0.

5. Производная дроби равна дроби, числитель которой есть произведение производной числителя исходной дроби на знаменатель минус произведение числителя исходной дроби на производную знаменателя, а знаменатель результата равен квадрату знаменателя исходной дроби.

Сложная функция

Вопрос. Что такое сложная функция? Как найти производную сложной функции?

Ответ. Функцию от функции называют сложной функцией.

Пример 1. Функция у = (2х + 3)7 является сложной, так как это степенная функция от линейной функции.

Это функция арифметического квадратного корня от квадратичной функции.

В общем виде: функция у = f(u(x)) сложная. Функция f зависит от функции u,

а функция u зависит от х, так что х – аргумент сложной функции.  

6. Производную сложной функции f(u(x)) находят по переменной х. Для этого вначале находят производную функции f по переменной u и результат умножают на производную функции u по переменной х.

Применим эту формулу к функции у = (2х + 3)7 (пример 1).

Здесь f(u) = u7; u(x) = 2x+3.

Тогда у ‘ = 7u6 ∙ (ux)′ = 7(2х + 3)6 ∙ (2х + 3)’ = 7(2х + 3)6 ∙ 2 = 14(2х + 3)6.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 имеет вид:

y = f(x0) + f ‘(x0)(x x0). Смотрите рисунок 3.

Смотрите видео вывода уравнения касательной.

YouTube: https://youtu.be/F2FGE0njy2U

RUTUBE: https://rutube.ru/video/8ce780b3a7c20e73db21515620c1089f/

ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623d2a7cd1c13971d8c16e66

Пример 1. Написать уравнение касательной к графику функции

у = х3 + 3х в точке с абсциссой х0 = 3.

Решение. Искомое уравнение касательной имеет вид:

y = f(x0) + f ′(x0)(x -x0).

Требуется найти f(x0) и f ‘(x0), а затем подставить найденные значения в уравнение касательной.

f(x0) = f(3) = 33 + 3∙3 = 27 + 9 = 36.

f ′(x) = (х3 + 3х)′ = 3х2 + 3.

f ′(x0) = f ′(3) = 3∙32 + 3 = 30.

Получаем у = 36 + 30(х -3); у = 36 + 30х -90;

у = 30х -54 – искомое уравнение касательной.

Пример 2. Написать уравнение касательной к графику функции

у = -2х2-12х-13 в точке с абсциссой х0 = -4. Сделать рисунок.

Решение. Искомое уравнение касательной имеет вид:

y = f(x0) + f ‘(x0)(x-x0).

Требуется найти f(x0) и f ‘(x0), а затем подставить найденные значения в уравнение касательной.

f(x0) = f(-4) = -2∙(-4)2-12∙(-4)-13 = -32+48-13 = 3.

f ‘(x) = (-2х2-12х-13)’ = -4x-12.

f ‘(x0) = f ‘(-4) = -4∙(-4)-12 = 16-12 = 4.

Получаем у = 3 + 4(х + 4); у = 3 + 4х + 16;

у = 4х + 19 – искомое уравнение касательной.

Сделаем рисунок.

Графиком функции у = -2х2-12х-13 служит парабола с вершиной О’(m; n).

n = y(m) = y(-3) = -2∙(-3)2-12∙(-3)-13 = -18+36-13 = 5.

О’(-3; 5) – вершина параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как отрицателен коэффициент

а = -2 при х2.

От точки (-3; 5) как от начала координат строим параболу у = -х2 (или построим одну-две дополнительные точки и используем свойство симметрии параболы относительно своей оси х = m).

Наша касательная у = 4х +19 касается параболы в точке А(-4; 3). Это одна точка прямой. Если взять х = -3, то получим у = 4∙(-3) + 19 = 7. Это точка В(-3; 7).

Проведём прямую (нашу касательную) через точки А и В.

Задание выполнено. Мы потрудились, а теперь полюбуемся своей работой и вспомним, в чём заключается геометрический смысл производной. Через точку А проведём прямую, параллельную оси Ох до точки пересечения с осью параболы (х = -3), которую обозначим через С. Угол ВАС – это угол между касательной к параболе в точке х0 и положительным направлением оси Ох. Из прямоугольного треугольника АСВ тангенс угла ВАС равен отношению противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС и равен 4:1 = 4.

В самом деле, могло ли быть иначе? Так как уравнение нашей касательной

у = 4х + 19, то угловой коэффициент k = tg∠ВАС = 4. И это найденное нами ранее значение f ‘(x0).

Итак, мы убедились на примере:

f ‘(x0) = k = tgα = 4.

Производная функции в данной точке есть угловой коэффициент

прямой у = 4x + 19 (на рисунке прямая АВ), которая служит касательной

к графику функции y = -2х2-12х-13 в точке с абсциссой х0 = -4. В этом суть геометрического смысла производной.

Механический (физический) смысл производной

Рассмотрим движение материальной точки по некоторой траектории (рисунок 4).

На горизонтальной оси Оt мы будем отмечать время пути, а на вертикальной оси Os —  расстояние, пройденное точкой за определённое время.

Зафиксируем точку М в момент времени t0.

Пройденный точкой путь на момент времени t0 равен s(t0) — значению функции в точке М.

Если в момент времени t координата материальной точки равна s, где s = s(t), то функцию s(t) называют законом движения материальной точки.

За промежуток времени Δt наша материальная точка совершила перемещение из положения М в положение N. Таким образом в момент времени t = t0 + Δt точкой пройден путь s(t0 + Δt), и, следовательно, за время Δt точка преодолела путь

Δs = s(t0 + Δt) — s(t0).

Среднюю скорость движения точки от М до N определим по формуле

Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем короче участки пути, на которых она определена. Поэтому один из возможных способов описания неравномерного движения состоит в задании средних скоростей этого движения на всё более и более малых участках пути. Логично, что малые участки пути будут соответствовать малым промежуткам времени.

Пусть Δt стремится к нулю. Это означает, что от времени t0 до времени t = t0 + Δt прошло буквально мгновение, и точка N практически неотличима от точки М.

А что же произойдёт со скоростью ?

Предел этой скорости при Δt → 0 называется мгновенной скоростью движения в момент времени t:

Знакомо? Да это же определение производной!

Предел отношения приращения пути Δs к приращению времени Δt при Δt стремящимся к нулю есть производная пути s по времени t.

А в результате получилась скорость v(t).

Говорят, что скорость есть производная пути по времени: v(t) = s‘(t).

Аналогично можно показать, что

ускорение есть производная скорости по времени: a(t) = v‘(t).

В последних двух формулировках и заключается механический (физический) смысл производной.

Пример 1. (Задача 6 ЕГЭ) Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t) = t3 + 4t2 -3t + 15, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 7 с.

Решение.

Так как скорость есть производная пути по времени,

то в нашем случае v(t) = х’ (t) = (t3 + 4t2 -3t + 15)’.

v(t) = 3t2 + 8t-3.

Тогда скорость в момент времени t = 7 найдём, подставив это значение 7 в последнее равенство.

 v(7) = 3 ∙ 72 + 8 ∙ 7-3 = 3 ∙ 49 + 56-3 = 200.     Ответ: 200.

Пример 2. (Задача 6 ЕГЭ) Материальная точка движется прямолинейно по закону

x(t) = t2 -9t -22, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?

Решение. Скорость есть производная пути по времени, поэтому

v(t) = х’ (t) = (t2 -9t -22)’.

v(t) = 2t -9.

Найдём время t, зная скорость v = 3 в момент этого времени.

3 = 2t -9        2t = 12       t = 6.    Ответ: 6.

Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 + t -1.

В какой момент времени ускорение будет равно 6 см/с2?

(x(t) – перемещение в сантиметрах, t – время в секундах.)

Решение. Скорость есть производная пути по времени, поэтому

v(t) = х’ (t) = (2t3 + t -1)’ = 6t2 + 1.

Ускорение есть производная скорости по времени: a(t) = v‘(t).

У нас a(t) = (6t2 + 1)’ = 12t.

Итак, a(t) = 12t. Найдём момент времени t при котором по условию ускорение

a(t) = 6.

6 = 12t        t = 6 : 12       t = 0,5.       Ответ: 0,5.

Наверх