Ученики одной школы писали тест

Задача. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.

а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?

б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?

в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест – 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?

Решение.

а) Да, могло. Пример: пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60.

Средний балл шести участников, не сдавших тест, равен

(78+78+78+60+60+60) : 6 = 69. После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65.

Средний балл трёх участников, не сдавших тест равен (65+65+65) : 3 = 65. Как видим, средний балл участников, не сдавших тест, понизился.

б) Да, так могло быть. Вернемся к примеру, рассмотренному в пункте а). Итак, пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60. Сдали тест всего трое учащихся.

Средний балл участников, сдавших тест равен (90+90+90) : 3 = 90.

После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65. Участников, сдавших тест уже шестеро. Средний балл равен (95+95+95+83+83+83) : 6 = 89. Таким образом, средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился.

в) Пусть первоначально было х участников, сдавших тест и у участников, не сдавших тест.

Зная, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75, можно записать равенство:

90(х+у) = 100х+75у. Упростим это выражение:

90х+90у=100х+75у, отсюда 10х=15у или 2х=3у.

Затем всем участникам добавили по 5 баллов, и, возможно, это помогло р учащимся пополнить списки сдавших тест.

Тогда сдали тест (х+р) участников, а не сдавших будет (у-р) человек.

Зная, что при этом средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест – 79, составим равенство:

95(х+у) = 103(х+р)+79(у-р). Упрощаем это выражение.

95х+95у = 103х+103р+79у-79р;

8х+24р=16у или 2х+6р=4у. Так как 2х=3у, то 3у+6р=4у, тогда у=6р.

Так как мы выясняем, при каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация, то возьмём р=1. Это будет означать, что добавление пяти баллов каждому участнику помогло лишь одному из них попасть в списки сдавших тест.

Тогда у=6 – это количество участников, не сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов;

х = (3 ∙ 6) : 2 = 9 – это количество участников, сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов. Вывод: х+у = 9+6 = 15 – наименьшее число участников, при которых стала возможной описанная в пункте в) ситуация.

Ответ: а) да; б) да; в) 15.