Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "приведите пример четырёхзначного числа произведение цифр которого в 10 раз больше"

Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа

Задача. а) Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 10 раз больше суммы цифр этого числа.

б) Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа?

в) Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 50 раз больше суммы цифр этого числа?

Решение.

а) 2355.

На самом деле, сумма 2+3+5+5=15, произведение 2 3 5 5 = 150 и 150 > 15 в 10 раз.

б) Пусть искомое четырёхзначное число записано цифрами x, y, z и t (в любой последовательности). По условию можно составить равенство:

то какие-то три из чисел x, y, z и t должны быть кратны числам 5 и 7. Но каждое из чисел x, y, z и t не меньше 1 и не больше 9, поэтому три числа из четырёх равны 5, 5 и 7. Пусть x=5, y=5, z=7.

отсюда после сокращения дроби получим 17 + t = t. Это уравнение решений не имеет, следовательно, нет такого четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 175 раз больше суммы цифр этого числа.

в) Будем искать такие цифры x, y, z и t, чтобы выполнялось равенство:

Так как 50 = 2 5 5, то две из четырёх цифр равны по 5, а третья кратна числу 2, т.е. может быть равна 2 или 4 или 6 или 8. Пусть x=5, y=5, z=2. Тогда получим уравнение

Отсюда 12 + t = t. Это уравнение решений не имеет, поэтому возьмём z=4.

отсюда 14 + t = 2t или t=14. Однако, t – натуральное число, меньшее или равное 9, следовательно, z=4 не подойдёт.

Пусть z=6, тогда получаем равенство:

и после сокращения дроби имеем: 16 + t = 3t, откуда t = 8.

Проверка.

Сумма 5 + 5 + 6 + 8 = 24; произведение 5 5 6 8 = 1200 и 1200 > 24 в 50 раз.

Искомые четырёхзначные числа мы получим перестановкой цифр 5, 5, 6 и 8.

Так как это перестановка с повторениями, то количество всех четырёхзначных чисел равно 4! : 2! = 1 2 3 4 : (1 2) = 24 : 2 = 12. Вот эти числа:

5568, 5586, 5685, 5865, 6855, 8655, 5658, 5856, 6585, 8565, 6558, 8556.

Ответ: а) 2355; б) нет; в) 5568.

Наверх