Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения

Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Решение. 1) Случай.

Построим график функции f(x) = ax² на

Графиком служит ветвь параболы.  Наименьшее значение f(0) = 0, наибольшее значение

Смотрите рис. 1.

Так как функция f(x) = ax² по условию чётная, то её график симметричен относительно оси Оу. Рисуем левую часть параболы. Смотрите рис.2.

По условию функция f(x) = ax² периодическая с периодом

поэтому параболу, изображённую на рис.2 отображаем далее вправо

служит кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и сжатая (или растянутая) вдоль оси Ох в зависимости от коэффициента |a + 2|. Чтобы понять, как же применить свойства функции

рассмотрим график этой функции. Смотрите рис. 4.

Так как мы проводили все рассуждения при условии, что а > 0, то раскрывая

Нам нужно так построить график этой функции, чтобы он пересекал параболы на рис. 3 в четырёх точках. Очевидно, что это произойдёт в случае, если общей точкой графиков

Смотрите рис.5.

Упростим это равенство и найдём значение а.

2) Случай.

Построим график функции f(x) = ax² на

Графиком служит ветвь параболы, направленная вниз. Построим ветвь параболы, симметричную этой,

Пусть при а < 0 выражение (а + 2) остаётся положительным. Тогда ветви

находиться в первой и третьей четвертях. Продолжим параболу у = ax² влево от уже построенной. Снизу параболы будут ограничены прямой

должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если кривая пройдёт

которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 6.

Пусть при а < 0 выражение (а + 2) станет отрицательным. Тогда ветви

будут находиться во второй и в четвёртой четвертях. Продолжим параболу у = ax² вправо от уже построенной в четвёртой четверти. Снизу параболы будут ограничены

должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если

которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 7. Раскрываем модульные скобки: |a + 2| = -a -2 при условии, что  (а + 2) < 0.

Однако, при этом значении а выражение (а + 2) не станет отрицательным, следовательно, случай, показанный на рис. 7, не имеет места.