Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "правильная треугольная пирамида"

В правильной треугольной пирамиде МАВС

Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ-точка L. Известно, что АD=АE=LМ=4.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Решение.

Высота данной правильной пирамиды проектируется в центр правильного треугольника АВС – точку пересечения медиан (высот и биссектрис). Обозначим эту точку через О. Мы знаем, что эта точка (пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому АО : ОЕ = 2 : 1, что равнозначно отношению АО : АF = 2 : 3. Проводим отрезки DE, DL и LE.

а) Так как DE отсекает от сторон АС и АВ равностороннего треугольника АВС отрезки по 4 см, то ∆ AED ∾ ∆ ABC  по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, ведь AD : AC = 2 : 3 (на самом деле, 4 : 6 = 2 : 3) и AE : AB = 2 : 3, и общему углу ВАС. Отсюда следует, что ∆AED тоже равносторонний и сторона его DE=AD=AE=4.

Соответствующие медианы подобных треугольников∆ AED и ∆ ABC  тоже относятся как 2 : 3, а это и означает, что точка О лежит на отрезке DE.

б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L, иначе говоря, найдем площадь треугольника DEL. Проведем LO. В равнобедренном треугольнике DEL медиана LO является и высотой.

Мы знаем только, что DE= 4. Потребуется найти LO.

Проведем LK⟘AF. Прямоугольные треугольники AKL и AOM подобны по общему  углу МАО. Справедливо равенство:

Итак, нам лишь потребуется найти МО-высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.

Найдем АО, как  радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:

Из  треугольника АОМ по теореме Пифагора:

Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.

Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Из прямоугольного треугольника OКL по теореме Пифагора найдем LO.

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС

Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что СD=ВE=LА=2.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Решение.

а) В равностороннем треугольнике АВС, CD=BE=2 по условию, следовательно,

AD=AE=4. Треугольники ADE и ABC подобны по общему углу ВАС и соответственно пропорциональным сторонам этого угла:

Соответственные высоты этих подобных треугольников относятся друг к другу так же, т.е. АО : AF = 2 : 3.

Это означает, что точка О – середина отрезка DE, делит отрезок AF в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, точка О является точкой пересечения медиан правильного треугольника АВС, т.е. центром основания пирамиды. Мы доказали, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Проведем отрезки LE и LD.

∆ DEL — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Требуется найти площадь этого сечения, т.е. площадь треугольника DEL. Проведем отрезок LO, этот отрезок является медианой, а, значит, и высотой равнобедренного треугольника DEL. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Проведем LK ⟘АО и получим прямоугольный ∆ LOK, из которого можно будет найти LO. Также потребуется найти DE.

Нам нужно найти и LK и OK.

Значение LK найдем из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Итак, нам лишь потребуется найти МО – высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.

Найдем АО, как  радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:

Из  треугольника АОМ по теореме Пифагора:

Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.

Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Из прямоугольного треугольника LOК по теореме Пифагора найдем LO.

Осталось найти  DE. Из подобия треугольников АВС и AED следует, что

Наверх