Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "площадь сечения конуса"

Радиус основания конуса с вершиной Р

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Решение.

а) Пусть дан конус с осевым сечением РАС и высотой РО. Радиус основания конуса ОА=6, образующая PA=9. Через точки А, В и Р проведено сечение. Это ∆АВР. Так как точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5, то дуга АВ составляет 1/6 часть длины окружности (всего 1+5=6 частей), и поэтому, центральный угол, соответствующий дуге АВ также составляет 1/6 часть угловой меры окружности.

Получается, что треугольник АОВ-равносторонний, и АВ=ОВ=ОА=6.

б) Проведем ОМ⟘АВ. Точка М-середина хорды АВ (радиус, перпендикулярный хорде делит её и стягиваемую ею дугу пополам).

Таким образом, АМ=ВМ=АВ : 2 = 6 : 2 = 3.

В равнобедренном треугольнике АВР с основанием АВ медиана РМ является и высотой. Площадь треугольника АВР равна половине произведения АВ на высоту треугольника РМ.

РМ-катет в прямоугольном  ∆АМР. По теореме Пифагора:

РМ2 = РА2 -АМ2 = 92— 32 = 81- 27 = 72, отсюда

Искомая площадь сечения конуса плоскостью АВР:

Радиус основания конуса с вершиной

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Решение.

а) Сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р – это равнобедренный ∆АРВ, основание которого сторона АВ – хорда окружности, стягивающая дугу 90°. А почему? На самом деле, так как по условию,  точки А и В делят окружность на две дуги, отношение которых 1 : 3, то меньшая дуга будет равна  одной четвёртой части от 360°- градусной меры всей окружности.

Далее, имеем треугольник АОВ — прямоугольный равнобедренный с катетом АО=6 (радиус основания конуса). Тогда

Проведем радиус, перпендикулярный хорде, который пересечет хорду в точке К.

ОК –  медиана прямоугольного равнобедренного треугольника АОВ, поэтому,

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

б) Площадь сечения конуса плоскостью АВР -это площадь треугольника АВР, которую найдем как половину произведения его стороны АВ на высоту РК, проведенную к этой стороне.

где РК-медиана, а потому и высота равнобедренного треугольника АВР. Из прямоугольного треугольника АКР по теореме Пифагора:

Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Решение.

Дан конус с осевым сечением РАС и высотой РО. Радиус основания АО=6, длина образующей АР=7. Длина дуги АВ относится к длине дуги АСВ как 1 : 2, т.е. дуга АВ составляет треть длины окружности .

а) Сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р представляет собой равнобедренный треугольник РАВ с основанием АВ. Хорда АВ видна из центра основания конуса (точки О) под углом 120° (третья часть от 360°).

б) Нам нужно найти площадь ∆РАВ. Проведем из точки О радиус, перпендикулярный хорде АВ. Он пересечет хорду в точке К, которая разделит пополам хорду АВ (радиус, перпендикулярный хорде,делит её и стягиваемую ею дугу пополам). Так как в равнобедренном треугольнике АОВ отрезок ОК-медиана, высота и биссектриса, то ∠ВОК = 120° : 2 = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОКВ.

Проведем РК. Это медиана и высота в равнобедренном треугольнике РАВ.

Искомую площадь сечения (площадь ∆РАВ) найдем как половину произведения стороны АВ на высоту РК, проведенную к этой стороне. РК найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АКР. У нас гипотенуза АР=7, катет

Наверх