Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех значений х на данном отрезке

Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство

||x + 2a|-3a| + ||3x-a| + 4a| ≤ 7x + 24

выполняется для всех значений х∈[0; 7].

Решение. Перепишем неравенство в виде:

||x + 2a|-3a| + ||3x-a| + 4a|-7х ≤ 24 и рассмотрим функцию

f(x) = ||x + 2a|-3a| + ||3x-a| + 4a|-7х. Производная этой функции при любом раскладе (при раскрытии модульных скобок) отрицательна на всей области определения. На самом деле:

f ‘(x) = ± 1 ± 3-7 < 0. Это означает, что функция f(x) монотонно убывает на всей области определения, т.е. меньшему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.

На промежутке  [0; 7] будет верным f(0) > f(7), и если f(0) ≤ 24, то и для остальных значений х∈[0; 7] данное в условии неравенство будет выполняться.

Находим f(0) = ||0 + 2a|-3a| + ||3 ∙ 0-a| + 4a|-7 ∙ 0;

f(0) = ||2a|-3a| + ||-a| + 4a|. Решаем неравенство f(0) ≤ 24.

||2a|-3a| + ||-a| + 4a| ≤ 24.

Модульные скобки будем раскрывать по правилу:

1) Если а < 0, тогда 2a < 0, -a > 0. Получаем:

|-2a-3a| + |-a + 4a| ≤ 24  → |-5a| + |3a| ≤ 24.

Помним, что у нас  а < 0, тогда -5a > 0, 3a < 0. Получаем:

-5а-3а ≤ 24  →  -8а ≤ 24  →  а ≥ -3.

2) Если а ≥ 0, тогда 2a ≥ 0, -a ≤ 0. Получаем:

|2a-3a| + |a + 4a| ≤ 24   →  | -a| + |5a| ≤ 24.

Помним, что у нас  а ≥ 0, тогда -a ≤ 0, 5a ≥ 0. Получаем:

а + 5а ≤ 24   →  6а ≤ 24  →  а ≤ 4.

Общее решение:  -3 ≤ а ≤ 4. 

Ответ: [-3; 4].