В целочисленной последовательности сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 1, или 3, или 13
Задача. В целочисленной последовательности а1=3, а2, … , аn-1, an=109 сумма любых двух соседних членов последовательности равна или 1, или 3, или 13.
а) Приведите пример такой последовательности.
б) Может ли такая последовательность состоять из 32 членов?
в) Какое наименьшее число членов может быть в такой последовательности?
Решение.
а) Пример последовательности: 3, 0, 1, 2, 11, -8, 9, 4, -3, … , -96, 109.
б) Так как нечетные числа последовательности имеют нечетный номер, то и последнее в последовательности число an=109 будет иметь нечетный номер, поэтому последовательность не может состоять из 32 членов.
в) Быстрее будут расти члены, стоящие на нечетных местах (до 109 — последнего члена), если мы будем подбирать их так, чтобы суммы соседних двух были равны то 1, то 13, кроме, быть может, двух предпоследних членов. Составим такую последовательность.
3, -2, 15, -14, 27, -26, 39, -38, 51, -50, 63, -62, 75, -74, 87, -86, 99, -96, 109.
Подсчитали. Всего 19 членов.
Для того, чтобы ответить на вопрос в) можно было рассуждать следующим образом.
Итак, рассмотрим три члена последовательности: ak, ak+1, ak+2 (1≤k≤n-2).
Поскольку ak+ak+1≥1 и ak+1+ ak+2≤13,
то -ak-ak+1≤-1. При сложении последнего неравенства с неравенством ak+1+ ak+2≤13, получаем: -ak+ak+2≤12. Отсюда ak+2≤ ak+12.
Тогда получаем, что члены нашей последовательности должны удовлетворять следующим условиям: а1=3; а3≤а1+12=15; а5≤а3+12=27 и т. д. а2k+1≤a2k-1+12=3+12k.
Так как 109 — последний член последовательности имеет нечетный номер, то
а2k+1=109<3+12k, 12k>106, k >106/12 или k > 53/6. Самое маленькое значение k=9.
Тогда 2k+1=2 ∙ 9+1=19. Итак, 19 — самое маленькое возможное количество членов в данной последовательности.
Ответ: а) да; б) нет; в) 19.
