На рисунке изображены графики функций f(x) и g(x)
Задача. На рисунке изображены графики функций
f(x) = ax2 + bx + c и g(x) = kx + d, которые пересекаются в точках А и В.
Найдите абсциссу точки В.
Решение. Смотреть видео.
1) Парабола. Очевидно, что записать уравнение данной квадратичной функции в виде y = a(x-m)2 + n не получится, т.к координаты вершины параболы (точка (m, n)) не выражается целыми числами. Будем искать уравнение квадратичной функции в виде f(x) = ax2 + bx + c. Значение с – это ордината точки пересечения параболы с осью Оу. Обозначим эту точку буквой С(0; -4). Так что имеем:
у = ax2 + bx -4. Парабола проходит через точку А(-2; -2), поэтому верно равенство:
-2 = a ∙ (-2)2 + b ∙ (-2) -4. Упростим и получим 2а- b = 1. Также парабола проходит через точку D(1; 1). Тогда верным будет равенство:
1 = а + b -4. Упростим и получим а + b = 5. Сложим полученные равенства
2а- b = 1 и а + b = 5
и получим 3а = 6, отсюда а = 2.
Подставим значение а = 2 в равенство а + b = 5 и получим b = 3.
Уравнение параболы имеет вид у = 2х2 + 3х -4.
2) Прямая. Наша прямая проходит через точки А(-2; -2) и Е(-1; 2).
Используем общую формулу уравнения прямой, проходящей через
точки (х1; у1) и (х2; у2):
У нас х1 = -2, у1 = -2; х2 = -1, у2 = 2. Подставляем эти значения в последнее равенство.
у + 2 = 4(х + 2);
у = 4х + 6 – уравнение прямой АЕ.
3) для того, чтобы найти точки пересечения прямой и параболы, решим систему полученных уравнений:
Решаем первое уравнение системы.
2х2 + 3х -4 = 4х + 6; 2х2-х -10 = 0.
Дискриминант D = 81, x1 = -2; x2 = 2,5.
Графики пересекаются в точках А(-2; -2) и В(2,5; 16).
Нас интересует только абсцисса точки В. Ответ: 2,5.
ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 6. Задача 9
Задача. На рисунке изображены графики функций
f(x) = 3х + 3 и g(x) = ax2 + bx + c, которые пересекаются в точках
А(-1; 0) и В(х0; у0). Найдите у0.
Решение. Смотреть видео.
1) Парабола. Запишем уравнение данной квадратичной функции в виде
y = a(x-m)2 + n, где m и n – координаты вершины параболы.
У нас m = -2 и n = 1.
Тогда g(x) = а(х + 2)2 + 1. Если значение а неочевидно, то используем то, что парабола проходит через точку С(-4; -3), поэтому, подставив её координаты в равенство
g(x) = а(х + 2)2 + 1, получим верное равенство:
-3 = a ∙ (-4+2)2 + 1. Упростим и получим
-4 = 4а, отсюда а = -1.
Уравнение параболы имеет вид
g(x) = -(х + 2)2 + 1 или
у = -х2 -4х -3.
2) для того, чтобы найти точки пересечения прямой и параболы, решим систему уравнений:
Решаем первое уравнение системы.
-х2 -4х- 3 = 3х + 3; после преобразований:
х2 +7х + 6 = 0. По теореме Виета x1 = -6; x2 = -1.
Графики пересекаются в точках А(-1; 0) и В(-6; -15).
Нас интересует только ордината точки В. Ответ: -15.
