Производная. Часть 1
Определение понятия производной и её геометрического смысла
показано на рисунке 1, а подробно раскрыто в видео, которое можно посмотреть на
YouTube: https://youtu.be/OniFjwZ3b00
RUTUBE: https://rutube.ru/video/0fd4e77d6cd661ed4d2cbc1c96137f10/
ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623be27502c2cc69a1db251a
Поясним новые понятия.
Приращение аргумента Δх и приращение функции Δу.
Во-первых, для функции y = f(x)
х –аргумент; у – функция.
Приращение аргумента Δх — это величина, на которую изменяют (увеличивают, как на рисунке, или уменьшают) абсциссу х0 произвольной точки М графика, причём значение Δх незначительно отличается от зафиксированного значения х0.
В результате получается новое значение аргумента х = х0 + Δх. Этому новому значению аргумента соответствует новая точка графика N,
у которой координаты (x0+Δx; f(x0+Δx)). Что же получилось? Мы увеличили абсциссу точки М на Δх и в результате ордината увеличилась на Δу = f(x0+Δx) -f(x0).
Что такое lim.
В переводе limit – предел, предельное значение при определённом условии.
Что означает знак ( ′ ) штрих. Это знак производной.
f(x) – функция; f ′(x) – производная функции.
производная функции f в точке х0 равна пределу отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх при Δх стремящемся к нулю.
В чём заключается геометрический смысл производной?
Производная функции в данной точке есть угловой коэффициент
прямой у = kx + b (на рисунке прямая МТ), которая служит касательной
к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0.
А так как коэффициент k = tgα, где α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох, то имеем равенство:
f ′(x0) = k = tgα. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Используя равенство f ′(x0) = tgα, вы легко решите такие задания ЕГЭ,
как задача 6 ЕГЭ 2022 ФИПИ.
Примеры.
Пример 1. На рисунке 1.1 изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Решение. М – точка касания (рис. 1.1а). Касательная МА пересекает ось Ох в точке В и образует угол МВХ с положительным направлением оси Ох. Обозначим этот угол через α. Искомое значение производной функции f(x) в точке х0 равно тангенсу угла α. Построим прямоугольный треугольник АСМ с гипотенузой МА. Угол МАС также равен α. Найдём тангенс угла α из ΔАСМ. Считаем клеточки (единичные отрезки). МС = 9, АС = 4.
Так как f ′(x0) = tgα, то получаем f ′(x0) = 2,25.
Ответ: 2,25.
Пример 2. На рисунке 2.1 изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Решение. Касательная АВ (рис. 2.1а) к графику функции y = f(x) в точке х0 образует угол α с положительным направлением оси Ох.
Искомое значение f ′(x0) = tgα. Вначале из прямоугольного треугольника АВС найдём тангенс угла ВАС, смежного с углом α. У нас ВС = 6, АС = 3.
Нас интересует tgα.
Так как tg(180°-α) = -tgα, то tgα = -tg(180°-α) = -2.
Тогда f ‘(x0) = tgα = -2. Ответ: -2.
Пример 3. На рисунке 3.1 изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = 5.
Решение. Касательная АО (рис. 3.1а) образует тупой угол с положительным направлением оси Ох. Найдём тангенс острого угла α смежного с этим тупым углом, а значения тангенсов смежных углов отличаются лишь знаком.
Пример 4. На рисунке 4.1 изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = -4.
Решение. Касательная АО (рис. 4.1а) образует тупой угол α с положительным направлением оси Ох. Найдём тангенс смежного с углом α угла ОАВ из прямоугольного треугольника АВО.
По свойству смежных углов ∠ОАВ=180°-α.
Мы найдём тангенс угла (180°-α) и воспользуемся равенством
tgα = -tg(180°-α).
Ответ: -0,75.
Формулы и правила производной
Возникает вопрос. А как находить производную функции, если нет никаких рисунков?
Ответ. По формулам, выведенным согласно определения производной, т.е. на основании равенства:
Потребуется только равенство y = f(x), где f(x) – выражение, содержащее переменную х.
В качестве примера рассмотрим вывод формулы производной степени.
На основании определения производной получим формулу:
(хn)′ = nxn-1.
Смотрите рисунок 2. Подробности на видео.
YouTube: https://youtu.be/gNqs6svP61A
RUTUBE: https://rutube.ru/video/c2722daedf644bdf1da071fb8656a9b0/
ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623fd665de9aa25e6dd7247c
Итак, мы имеем формулу ( хn )′ = nxn-1.
Примеры. Найти производные следующих функций.
1) у =х6. Решение. у′ = 6х5.
2) у = х. Решение. у′ = 1х0 = 1.
х′ = 1.
На основании определения производной выводятся и производные других элементарных функций.
Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием этой функции.
Вопрос. Многие функции представляют собой сумму, разность, произведение или частное некоторых функций f(x) и g(x). Как быть в этих случаях?
Ответ. Применяют правила дифференцирования, которые выводятся также на основании определения производной функции. Для удобства введём обозначения: u = f(x) и v = g(x).
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
(u ± v)′ = u ′ ± v ′
2. Производная произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.
(uv)′ = u′v + uv′
3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
(Сu)′ = Cu′.
4. Производная постоянной величины равна нулю.
С ′ = 0.
5. Производная дроби равна дроби, числитель которой есть произведение производной числителя исходной дроби на знаменатель минус произведение числителя исходной дроби на производную знаменателя, а знаменатель результата равен квадрату знаменателя исходной дроби.
Сложная функция
Вопрос. Что такое сложная функция? Как найти производную сложной функции?
Ответ. Функцию от функции называют сложной функцией.
Пример 1. Функция у = (2х + 3)7 является сложной, так как это степенная функция от линейной функции.
Это функция арифметического квадратного корня от квадратичной функции.
В общем виде: функция у = f(u(x)) сложная. Функция f зависит от функции u,
а функция u зависит от х, так что х – аргумент сложной функции.
6. Производную сложной функции f(u(x)) находят по переменной х. Для этого вначале находят производную функции f по переменной u и результат умножают на производную функции u по переменной х.
Применим эту формулу к функции у = (2х + 3)7 (пример 1).
Здесь f(u) = u7; u(x) = 2x+3.
Тогда у ‘ = 7u6 ∙ (ux)′ = 7(2х + 3)6 ∙ (2х + 3)’ = 7(2х + 3)6 ∙ 2 = 14(2х + 3)6.
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 имеет вид:
y = f(x0) + f ‘(x0)(x —x0). Смотрите рисунок 3.
Смотрите видео вывода уравнения касательной.
YouTube: https://youtu.be/F2FGE0njy2U
RUTUBE: https://rutube.ru/video/8ce780b3a7c20e73db21515620c1089f/
ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623d2a7cd1c13971d8c16e66
Пример 1. Написать уравнение касательной к графику функции
у = х3 + 3х в точке с абсциссой х0 = 3.
Решение. Искомое уравнение касательной имеет вид:
y = f(x0) + f ′(x0)(x -x0).
Требуется найти f(x0) и f ‘(x0), а затем подставить найденные значения в уравнение касательной.
f(x0) = f(3) = 33 + 3∙3 = 27 + 9 = 36.
f ′(x) = (х3 + 3х)′ = 3х2 + 3.
f ′(x0) = f ′(3) = 3∙32 + 3 = 30.
Получаем у = 36 + 30(х -3); у = 36 + 30х -90;
у = 30х -54 – искомое уравнение касательной.
Пример 2. Написать уравнение касательной к графику функции
у = -2х2-12х-13 в точке с абсциссой х0 = -4. Сделать рисунок.
Решение. Искомое уравнение касательной имеет вид:
y = f(x0) + f ‘(x0)(x-x0).
Требуется найти f(x0) и f ‘(x0), а затем подставить найденные значения в уравнение касательной.
f(x0) = f(-4) = -2∙(-4)2-12∙(-4)-13 = -32+48-13 = 3.
f ‘(x) = (-2х2-12х-13)’ = -4x-12.
f ‘(x0) = f ‘(-4) = -4∙(-4)-12 = 16-12 = 4.
Получаем у = 3 + 4(х + 4); у = 3 + 4х + 16;
у = 4х + 19 – искомое уравнение касательной.
Сделаем рисунок.
Графиком функции у = -2х2-12х-13 служит парабола с вершиной О’(m; n).
n = y(m) = y(-3) = -2∙(-3)2-12∙(-3)-13 = -18+36-13 = 5.
О’(-3; 5) – вершина параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как отрицателен коэффициент
а = -2 при х2.
От точки (-3; 5) как от начала координат строим параболу у = -х2 (или построим одну-две дополнительные точки и используем свойство симметрии параболы относительно своей оси х = m).
Наша касательная у = 4х +19 касается параболы в точке А(-4; 3). Это одна точка прямой. Если взять х = -3, то получим у = 4∙(-3) + 19 = 7. Это точка В(-3; 7).
Проведём прямую (нашу касательную) через точки А и В.
Задание выполнено. Мы потрудились, а теперь полюбуемся своей работой и вспомним, в чём заключается геометрический смысл производной. Через точку А проведём прямую, параллельную оси Ох до точки пересечения с осью параболы (х = -3), которую обозначим через С. Угол ВАС – это угол между касательной к параболе в точке х0 и положительным направлением оси Ох. Из прямоугольного треугольника АСВ тангенс угла ВАС равен отношению противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС и равен 4:1 = 4.
В самом деле, могло ли быть иначе? Так как уравнение нашей касательной
у = 4х + 19, то угловой коэффициент k = tg∠ВАС = 4. И это найденное нами ранее значение f ‘(x0).
Итак, мы убедились на примере:
f ‘(x0) = k = tgα = 4.
Производная функции в данной точке есть угловой коэффициент
прямой у = 4x + 19 (на рисунке прямая АВ), которая служит касательной
к графику функции y = -2х2-12х-13 в точке с абсциссой х0 = -4. В этом суть геометрического смысла производной.
Механический (физический) смысл производной
Рассмотрим движение материальной точки по некоторой траектории (рисунок 4).
На горизонтальной оси Оt мы будем отмечать время пути, а на вертикальной оси Os — расстояние, пройденное точкой за определённое время.
Зафиксируем точку М в момент времени t0.
Пройденный точкой путь на момент времени t0 равен s(t0) — значению функции в точке М.
Если в момент времени t координата материальной точки равна s, где s = s(t), то функцию s(t) называют законом движения материальной точки.
За промежуток времени Δt наша материальная точка совершила перемещение из положения М в положение N. Таким образом в момент времени t = t0 + Δt точкой пройден путь s(t0 + Δt), и, следовательно, за время Δt точка преодолела путь
Δs = s(t0 + Δt) — s(t0).
Среднюю скорость движения точки от М до N определим по формуле
Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем короче участки пути, на которых она определена. Поэтому один из возможных способов описания неравномерного движения состоит в задании средних скоростей этого движения на всё более и более малых участках пути. Логично, что малые участки пути будут соответствовать малым промежуткам времени.
Пусть Δt стремится к нулю. Это означает, что от времени t0 до времени t = t0 + Δt прошло буквально мгновение, и точка N практически неотличима от точки М.
А что же произойдёт со скоростью ?
Предел этой скорости при Δt → 0 называется мгновенной скоростью движения в момент времени t:
Знакомо? Да это же определение производной!
Предел отношения приращения пути Δs к приращению времени Δt при Δt стремящимся к нулю есть производная пути s по времени t.
А в результате получилась скорость v(t).
Говорят, что скорость есть производная пути по времени: v(t) = s‘(t).
Аналогично можно показать, что
ускорение есть производная скорости по времени: a(t) = v‘(t).
В последних двух формулировках и заключается механический (физический) смысл производной.
Пример 1. (Задача 6 ЕГЭ) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = t3 + 4t2 -3t + 15, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 7 с.
Решение.
Так как скорость есть производная пути по времени,
то в нашем случае v(t) = х’ (t) = (t3 + 4t2 -3t + 15)’.
v(t) = 3t2 + 8t-3.
Тогда скорость в момент времени t = 7 найдём, подставив это значение 7 в последнее равенство.
v(7) = 3 ∙ 72 + 8 ∙ 7-3 = 3 ∙ 49 + 56-3 = 200. Ответ: 200.
Пример 2. (Задача 6 ЕГЭ) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = t2 -9t -22, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?
Решение. Скорость есть производная пути по времени, поэтому
v(t) = х’ (t) = (t2 -9t -22)’.
v(t) = 2t -9.
Найдём время t, зная скорость v = 3 в момент этого времени.
3 = 2t -9 → 2t = 12 → t = 6. Ответ: 6.
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 + t -1.
В какой момент времени ускорение будет равно 6 см/с2?
(x(t) – перемещение в сантиметрах, t – время в секундах.)
Решение. Скорость есть производная пути по времени, поэтому
v(t) = х’ (t) = (2t3 + t -1)’ = 6t2 + 1.
Ускорение есть производная скорости по времени: a(t) = v‘(t).
У нас a(t) = (6t2 + 1)’ = 12t.
Итак, a(t) = 12t. Найдём момент времени t при котором по условию ускорение
a(t) = 6.
6 = 12t → t = 6 : 12 → t = 0,5. Ответ: 0,5.
