15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Решение.
За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,
И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг.
Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:
1 месяц. 1100 ∙ 0,01r = 11r;
2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r = 10,6r;
3 месяц (1060 — 40) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r = 10,2r;
4 месяц (1020 — 40) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r = 9,8r и так далее.
Заметим, что последовательность чисел 11r; 10,6r; 10,2r; 9,8r и т.д. представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
а1 = 11r и разностью d = -0,4r. Нам нужно найти сумму 15-ти членов этой арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:
Итак, банку придётся отдать 600 тысяч рублей плюс 123r тысяч рублей процентов за первые 15 месяцев и ещё за 16-й месяц долг 500 тысяч рублей плюс проценты с этой суммы, т.е. r % от 500 тысяч (это 0,01r ∙ 500 = 5r). Общая сумма выплат по условию равна 1228 тысяч рублей. Получим равенство:
600+123r+500+5r = 1228;
128r = 128;
r = 1.
Ответ: 1%.
А можно рассуждать так.
Решение2.
За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,
И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в первые 15 месяцев.
Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:
1 месяц. 1100 ∙ 0,01r;
2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r;
3 месяц (1100 — 40 ∙ 2) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r;
4 месяц (1100 — 40 ∙ 3) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r;
……………………………………………………..
15 месяц (1100 — 40 ∙ 14) ∙ 0,01r = 540 ∙ 0,01r.
Сложим полученные результаты, вынеся общий множитель 0,01r за скобки:
(1100+1060+1020+980+…+540) ∙ 0,01r. Это сумма процентов за 15 месяцев.
В скобках сумма 15-ти членов арифметической прогрессии с первым членом
а1 = 1100 и пятнадцатым членом а15 = 540.
Тогда 12300 ∙ 0,01r = 123r тысяч рублей составят начисленные банком проценты за первые 15 месяцев.
За последний 16-й месяц, когда долг останется равным 500 тысяч рублей, банк возьмёт r % с этой суммы, т.е. 500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.
Следовательно, начисленные банком за всё время кредитования проценты составят
123r +5r =128r тысяч рублей.
По условию сумма всех платежей после полного погашения кредита (1100 тысяч рублей) будет составлять 1228 тысяч рублей. Это означает, что на проценты банку приходится 1228-1100=128 тысяч рублей.
Имеем равенство 128r = 128, отсюда r = 1%.
Ответ: 1%.
Ну всё понятно! А как же оформить эту задачу на ЕГЭ?
Решение.
Банку будет выплачена сумма взятого кредита 1100 тысяч рублей плюс проценты. Так как по условию вся выплаченная сумма 1228 тысяч рублей, то сумма процентов составит 128 тысяч рублей. В первые 15 месяцев будет выплачено 1100-500=600 тысяч рублей основного долга, следовательно, долг ежемесячно уменьшается на 600:15=40 тысяч рублей.
Проценты (r % ежемесячно) начисляются на остаток долга так, как показано в таблице.
15 числа 15-го месяца будут выплачены последний раз 40 тысяч рублей, и долг станет равным 500 тысяч рублей. На эту сумму также будет начислено r %, т.е.
500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.
Всего переплата 123r + 5r = 128r или 128 тысяч рублей. Отсюда r = 1%.
Ответ: 1%.
Напоминание. Чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь.
Примеры.
45% от числа 1100 равны 0,45 ∙ 1100 = 495;
3% от 1100 равны 0,03 ∙ 1100 = 33;
r% от 1100 равны 0,01r ∙ 1100 = 11r.
