31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000

Задача. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение. 

Рассмотрим два способа решения задачи.

1 способ. С помощью формулы.

Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных

осуществленных после начисления r% по вкладу, то имеет место замечательная формула:

Кредит Алексея S = 9282000 полностью погашается за 4 платежа по Х рублей каждый, после начисления  r = 10% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга. Получаем равенство:

Ответ: 2928200.

2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.

Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=9282000).

1-ый год. Банк начисляет 10% ко взятой сумме, и сумма долга составит 110% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.

110%=1,1. Умножаем 1,1 на S. Получаем 1,1S. Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1S-Х.

2-ой год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,1S-Х). Это составит 1,1(1,1S-Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,1S-Х)-Х.

Упростим. 1,1² S-1,1Х-Х=1,21S-2,1Х.

3-ий год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,21S-2,1Х). Это составит 1,1(1,21S-2,1Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,21S-2,1Х)-Х.

Упростим. 1,331S-2,31Х-Х=1,331S-3,31Х.

4-ый год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,331S-3,31Х). Это составит 1,1(1,331S-3,31Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,331S-3,31Х)-Х.

Упростим. 1,1(1,331S-3,31Х)-Х=1,4641S-3,641Х-Х=1,4641S-4,641Х.

Так как за 4 года Алексей выплатит весь долг, то последняя сумма равна нулю. Решаем уравнение:

1,4641S-4,641Х=0.

4,641Х=1,4641S; помним, что у нас S=9282000. Тогда

Х=(1,4641∙928200):4,641;

Ответ: 2928200.

Выбор решения исключительно за решающим.